Bài toán chọn quả cầu, bi từ nhiều hộp khác nhau. Bài 7 trang 75

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trằng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trằng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trằng”.

B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.

a) Xét xem A và B có độc lập không.

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

Bài giải:

Phép thử T được xét là: “Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu”.

Mỗi một kết quả có thể có của phép thử T gồm hai thành phần là:

1 quả cầu của hộp thứ nhất và 1 quả cầu của hộp thứ 2.

Có 10 cách để lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và có 10 cách để lấy 1 quả cầu ở hộp thứ 2. Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử T là 10 . 10 = 100. Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử T là n(Ω) = 100.

Vì lấy ngầu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng.

Xét biến cố A: “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng”.

Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A gồm 2 thành phần là: 1 quả cầu trắng ở hợp thứ nhất và 1 quả cầu (nào đó) ở hộp thứ 2. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A là: n(A) = 6 . 10 = 60.

Xác xuất biến cốP(A) = $\frac{60}{100}$ = 0,6.

Xét biến cố B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng”.

Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho B là: n(B) = 10 . 4 = 40.

Xác xuất biến cố P(B) = $\frac{40}{100}$ = 0,4.

a) Ta có A . B là biến cố: “Lấy được 1 cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 cầu trắng ở hộp thứ hai”. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A . B là: 6 . 4 =24.

Suy ra: P(A . B) = $\frac{24}{100}$ = 0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B).

Như vậy, ta có P(A . B) = P(A) . P(B). Suy ra A và B là hai biến cố độc lập với nhau.

b) Gọi C là biến cố: “Lấy được hai quả cầu cùng màu”. Ta có

C = A . B + $\overline{A}$ . $\overline{B}$ .

Trong đó $\overline{A}$ = “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen” và P( $\overline{A}$ ) = 0,4.

$\overline{B}$ : “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen” và P( $\overline{B}$ ) = 0,6.

Và ta có A . B và $\overline{A}$ . $\overline{B}$ là hai biến cố xung khắc với nhau.

A và B độc lập với nhau, nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập với nhau.

Qua trên suy ra;

Xác xuất biến cố

P(C) = P(A . B + $\overline{A}$ . $\overline{B}$ ) = P(A . B) + P( $\overline{A}$ . $\overline{B}$ ) = P(A) . P(B) + P( $\overline{A}$ ) . P( $\overline{B}$ ) = 0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48.

c) Gọi D là biến cố: “Lấy được hai quả cầu khác màu”. Ta có

D = $\overline{C}$ => Xác xuất P(D) = 1 – P(C) = 1 – 0,48 = 0,52.