Dãy số

1. Định nghĩa

a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N^*  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

                           u: N^*  → R

                                n →  u(n)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂,u₃, ….,u_n,….,

trong đó u_n = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u₁ là số hạng đàu của dãy số (u_n )

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m}, với m ε N^*  được gọi là một dãy số hữu hạn   

Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂,u₃, ….,u_m, trong đó u₁là số hạng đầu, Um là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

Khi đó Un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N^{* .}

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được Un.

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được Un với n tuỳ ý.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

– Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

– Với n ≥ 2, cho một công thức tính Un nếu biết U_n-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

   hoặc