Giới hạn dãy số – Bài 1 trang 121

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n).

b) Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10^-6 g.

Bài giải

a) Nhận xét: u₁ = ; u₂ = ; u₃ = ; … u_n = .

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

b) lim u_n = lim ()ⁿ= 0 = vì lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.

c) Đổi 10^-6 g =  .  kg =  kg.

Muốn có u_n =  < , ta cần chọn n₀ sao cho 2ⁿ₀ > 10⁹. Chẳng hạn, với  n₀ = 36, thì

2³⁶ = (2⁴)⁹ = 16 ⁹ > 10⁹. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 =
864 000 (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.