Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có u_n+1 = u_n.q, với mọi số nguyên dương n.

Số hạng tổng quát: u_n = u_1.q^n–1 với n ≥ 2

Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (u_k)² = u_k–1.u_k+1 với k ≥ 2

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

Chú ý: Nếu công bội q = 1 thì S_n = n.u₁.

Bài giảng video chi tiết

Dạng 1: Chứng minh 1 dãy số là cấp số nhân

Dạng 2: Cách tìm công bội và số hạng đầu của CSN

Dạng 3: Tính tổng của n số hạng đầu cấp số nhân.

Dạng 4: Sử dụng tính chất của cấp số nhân và cấp số cộng

Ví dụ 1: Tìm các số hạng đầu của cấp số nhân có năm số hạng, biết:

a) u₃ = 3 và u₅ = 27;                    b) u₄ – u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50 

Bài giải

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

              u₃ = 3 = u₁.q² và u₅ = 27 = u₁.q⁴. 

Vì 27 = (u₁q²).q² = 3.q² nên q² = 9 hay q = ±3.

Thay q² = 9 vào công thức chứa u₃, ta có u₁ = 1/3.

– Nếu công bội q = 3, ta có cấp số nhân: 1/3, 1, 3, 9, 27.

– Nếu công bội q = -3, ta có cấp số nhân: 1/3, -1, 3, -9, 27.

b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

Từ hệ trên ta được: 50.q = 25  => công bội q = 1/2.

Và u₁ =  .

Ta có cấp số nhân .