Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau vuông góc với nhau

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b

Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b B1: Tìm mặt phẳng (α) chứa đường thẳng a và (α)⊥ b B2: Tìm giao điểm I của (α) và đường thẳng b B3: Kẻ IH vuông góc với đường thẳng a. Thì IH là đường vuông góc chung

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện S. ABC có SA vuông góc (ABC),  tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC 

Hướng dẫn giải

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). → SA ⊥ BC ( hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau) Từ A kẻ AM vuông góc với BC (1) SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ AM (2) Từ (1) và (2) chúng ta có AM là đoạn vuông góc chung d(SA,BC) = AM Vì tam giác ABC vuông cân tại A. AM vừa là đường cao, đường trung tuyến.  AM = 1/2BC = a

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các cặp đoạn thẳng đối diện nhau.

Hướng dẫn giải: 

Tứ diện đều thì các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau Chứng minh AB vuông góc CD.  Tam giác BCD đều cạnh a. → BH ⊥ CD Tam giác ACD đều cạnh a. → AH ⊥ CD → CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ AB Vì có CD ∩ (ABH) = H. Kẻ thêm HK vuông góc AB CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ HK . Chúng ta có HK là đoạn vuông góc chung

Tính độ dài HK = d( AB, CD)

Xét tam giác ABH.

 Ví dụ 3:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SAmp(ABCD) và SA= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

1, SB và AD.

2, BD và SC.

Hướng dẫn giải:

Ta có DA  mp(SAB) tại A. Gọi AH là đường cao của tam giác vuông SAB thì AH là đường vuông góc chung của SB và AD. Vậy d(SB;AD) = AH. Vì tam giác SAB vuông cân nên

Ta có BD ⊥ mp(SAC) tại tâm O của hình vuông ABCD. Kẻ OK ⊥ SK (K ∈ SC) thì OK là đường vuông góc chung của BD và SC.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AC=BC=AD=BD=a ; AB=c và CD=c’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3:  Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng  a .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc SC và (ABCD) là 30⁰. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Bài giải

B1: Cho mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ BD (1), ABCD là hình vuông → BD ⊥ AC (2). 

Từ (1) và (2) ta có BD ⊥ (SAC) → BD ⊥ SC. ( Chọn mặt phẳng (SAC) chứa SC và vuông góc với BD)

B2: Tìm giao điểm của BD và (SAC): BD ∩ (SAC) = O

B3: Kẻ OI vuông góc với SC → OI là đường vuông góc chung của BD và SC

OI = d (BD,SC)

Chú ý: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.

Bài tập tương tự: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC, AC và SB