Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Bài 02 )

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – Bài 02

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là 1 trong phần học quan trọng của học sinh phổ thông. Để các bạn học sinh có nhiều điều kiện học và tự học. Các video bài giảng để học sinh tiếp cận tốt hơn.

Bài giảng 1: Bài mởi đầu về đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Bài giảng 2: Bài giảng áp dụng đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Bài giảng 3: Bài giảng vận dụng kiến thức chứng  minh các mặt bên của hình chóp

Bài 1. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam giác vuông tại B.

a. Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC ⊥ SB.

b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH ⊥ SC.

Hướng dẫn giải 

a. Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (SAB),BC ⊥ SB

• Tam giác SAB vuông tại B → AB ⊥ BC
• SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SAB) { BC là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau} 

Theo định nghĩa: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng

BC ⊥ (SAB) → BC ⊥ SB

b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH ⊥ SC.

Theo định nghĩa: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng

Bài 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD.

a. Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

b. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và HK ⊥ (SAC).

Hướng dẫn giải 

a. Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) Chứng minh BC ⊥ (SAB) Tứ  giác ABCD là vuông tại → AB ⊥ BC SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) { BC là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau}

Chứng minh DC ⊥ (SAD)

• Tứ giác ABCD là vuông tại → AD ⊥ DC
• SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ DC

⇒ DC ⊥ (SAD) { DC là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau}

Chứng minh DB ⊥ (SAC)

• Tam giác ABCD là vuông tại → BD ⊥ AC ( hai đường chéo vuông góc)
• SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ BD

⇒ DB ⊥ (SAC) { DB là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau}

b. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và HK ⊥ (SAC).

Chứng minh SC ⊥ (AHK)

theo các ý đã chứng minh từ câu a. 

Tương tự ( các bạn hs tự viết) AK ⊥ SC

SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AH, AK. → SC ⊥ (AHK)

Chứng minh HK ⊥ (SAC)

Ta có: SC ⊥ (AHK) → SC ⊥ HK

Cần chứng minh HK // BD. ( sử dụng định lý talet trong tam giác SBD)

Xét hai tam giác SAB và SAD là hai tam giác vuông có các cạnh bằng nhau. 

Vì đáy ABCD là hình vuông, có hai đường chéo vuông góc BD ⊥ AC, BD// HK → HK ⊥ AC

HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC, SC → HK ⊥( SAC)

Bài 3: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a√2. SA vuông góc với đáy. Gọi M la trung điểm của AD. 

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2. Chứng minh BM ⊥ (SAC)

Hướng dẫn giải chi tiết

Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

• Mặt bên (SAB) là tam giác vuông tại A. Vì SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ AB
• Mặt bên (SAD) là tam giác vuông tại A. Vì SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ AD

Mặt bên (SBC) là tam giác vuông tại B vì 

Tứ  giác ABCD là vuông tại → AB ⊥ BC

SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SAB)→ BC ⊥ SB { BC là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau}

Mặt bên (SDC) là tam giác vuông tại D vì 

Tứ  giác ABCD là vuông tại → AD ⊥ DC

SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ DC

⇒ DC ⊥ (SAD)→ DC ⊥ SD { BC là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau}

Chứng minh BM ⊥ (SAC)

SA ⊥ (ABDC) → SA vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng (ABCD) → SA ⊥ BM

Cần phải chứng minh AC ⊥ BM.  Để chứng minh AC ⊥ BM chúng ta sử dụng tính chất tích vô hướng 

Như chúng ta đã biết: 

• Hai véc tơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng bằng 0
• Hai véc tơ song song và cùng chiều thì góc giữa hai véc tơ là 0⁰
• Hai véc tơ song song và ngược chiều nhau thì góc 180⁰

Như vậy chúng ta có MB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SAC) → đpcm

Bài tập tự luận áp dụng kiến thức ( Các bạn hs làm lại các bài tập minh họa sau đó làm bài tập áp dụng) 

Bài 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.

a. Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh MN ⊥ (SAC).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.

a. Chứng minh rằng BC ⊥ mp(SAB), CD ⊥ mp(SAD), BD ⊥ mp(SAC).

b. Chứng minh SC ⊥ mp(AHK) và điểm I cũng thuộc mp(AHK).

c. Chứng minh rằng:  HK ⊥ mp(SAC) từ đó suy ra HK ⊥ AI.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SB = SD.

a. Chứng minh (SAC)  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.

b. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD. Chứng minh : SH = SK, OH = OK và HK // BD.

c. Chứng minh (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn HK.

Bài tập trắc nghiệm( được tổng hợp từ các đề thi HK, các đề thi thử môn toán THPT Quốc Gia)