Đường thẳng vuông góc mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 

 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng. 

d ⊥ (P) , d ⊥ các đường thẳng trong (P)

Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) cần chứng minh đường thẳng d vuông góc với 2 đường cắt nhau trong mặt phẳng (P)

Mặt phẳng trung trực: 

Mặt phẳng trung trực AB :là mặt phẳng vuông góc với AB, đi qua trung điểm của AB

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK), HK // BD
3. Tìm giao điểm I của SC và mặt phẳng (AHK). Chứng minh I là hình chiếu vuông góc của A trên SC

Hướng dẫn giải chi tiết

1. Chứn minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ AB .          → Tam giác SAB là tam giác  vuông tại A SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ AD .          → Tam giác SAD là tam giác vuông tại A Tam giác SBC vuông tại B vì:  Tam giác SDC vuông tại D vì:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. CMR:

1. SC vuông góc với mp(BHK).                                    
2. HK vuông góc với mp(SBC)

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. H =  BI ∩ AJ ( giao điểm 2 đường cao BI, AJ). 

SJ là đường cao của tam giác SBC, kẻ CM vuông góc với SB.  CM ∩ SJ = K. K – là trực tâm của tam giác SBC

Chứng minh : SC vuông góc với mp(BHK)

vì K là trực tâm của tam giác SBC. → BK ⊥ SC

Như vây chúng ta có. SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau. → SC ⊥ (BHK) 

Chứng minh : HK vuông góc với mp(SBC)

Có BC ⊥ (SAJ) → BC ⊥ HK

Có SC ⊥ (BHK)→ SC ⊥ HK

HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau. → HK ⊥ (SBC) 

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hình chiếu của A trên SB, SD.

1. Chứng minh MN//BD và SC vuông góc với mp(AMN).
2. Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD.

1. Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD.
2. Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD. Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK

Bài 3: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho  AC ⊥ BF. Gọi CH và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh:

1. ACH và BFK là các tam giác vuông.                      
2. BFAH và ACBK

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD).

1. Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK).
2. Kẻ AJ ⊥ (SBD). Chứng minh J là trực tâm của tam giác SBD.

Bài 5:  Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC). Gọi AI là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Hạ HK ⊥ DI. Chứng minh:

1. HK ⊥ BC
2. K là trực tâm của tam giác DBC.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S di động. Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh:  AF ⊥ SB