Thiết diện và phương pháp tìm thiết diện
Thiết diện: là một đa giác được tạo bởi giao điểm của mặt phẳng (P) với tất cả các cạnh ( đoạn thẳng ) của hình chóp và mặt phẳng (P).
Phương pháp tìm thiết diện:
Phương pháp 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng với các đoạn thẳng cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp
Phương pháp 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp và loại bỏ đoạn thẳng bên ngoài hình chóp
Bài tập minh họa
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)
bài giải
Trong (ABCD), gọi J = BD ∩ MN, K = MN ∩ AB, H = MN ∩ BC
Trong (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB
Trong (SAB), gọi R = KQ ∩ SA
Trong (SBC), gọi P = QH ∩ SC
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm lấy trên AB , AD và SC . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Bài giải
Trong (ABCD) , gọi E = MN ∩ DC, F = MN ∩ BC
Trong (SCD) , gọi Q = EP ∩ SD
Trong (SBC) , gọi R = FP ∩ SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
Bài 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM ). Xét 2 trường hợp :
- M ở giữa C và D
- M ở ngoài đoạn CD
Bài giải
M ở giữa C và D :
Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD)
Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD
Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL
Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN
M ở ngoài đoạn CD:
Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD
Vậy : thiết diện là tam giác HKL
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
Bài giải
Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SC
Trong (SAD), gọi P = EM ∩ SA
Trong (ABCD), gọi F = MN ∩ BC
Trong (SBC), gọi R = FQ ∩ SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không song song .
- Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)
- Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Bài giải
Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) :
Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC
Vậy : SI = (SAD) ∩ ( SBC)
Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Trong (SBC) , gọi J = MN ∩ SI
Trong (SAD) , gọi K = SD ∩ AJ
Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác SCD lấy một điểm N.
- Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
- Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
- Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Bài giải
Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):
- Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)
Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)
Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC
Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD
Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC
I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) → I ∈ ( SMN)
I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) → I ∈ (SAC)
→ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC)
→ ( SMN) ∩ (SAC) = SI
- Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI
O ∈ MN
O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) → O ∈ ( SAC)
Vậy : O = MN ∩ ( SAC )
Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
- Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)
Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO
- Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC
E ∈ SC
E ∈ AO mà AO ⊂ ( AMN) → E ∈ ( AMN)
Vậy : E = SC ∩ ( AMN )
Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:
Trong (SBC), gọi P = EM ∩ SB
Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SD
Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)
Bài giải
Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD
Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ ∩ SO
Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ ∩ SD
Có hai trường hợp :
- Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
- Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì
Gọi E = CD ∩ C’D’
F = AD ∩ A’D’
→ thiết diện là tứ giác A’B’C’EF
Bài tập áp dụng
Để lại một bình luận
Hãy trở thành người đầu tiên bình luận!