Thiết diện của khối đa diện

Thiết diện và phương pháp tìm thiết diện

Thiết diện: là một đa giác được tạo bởi giao điểm của mặt phẳng (P) với tất cả các cạnh ( đoạn thẳng ) của hình chóp và mặt phẳng (P). 

Phương pháp tìm thiết diện:

Phương pháp 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng với các đoạn thẳng cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp

Phương pháp 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp và loại bỏ đoạn thẳng bên ngoài hình chóp

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)

bài giải

thiet dien

Trong (ABCD), gọi J = BD ∩ MN,  K = MN ∩ AB, H = MN ∩ BC

Trong (SBD), gọi  Q = IJ ∩ SB

 Trong (SAB), gọi  R = KQ ∩ SA

Trong (SBC), gọi  P = QH ∩ SC

Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm lấy trên AB , AD và SC . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)

Bài giải

thiet dien 1

Trong (ABCD) , gọi  E = MN ∩ DC, F = MN ∩ BC

Trong (SCD) , gọi  Q = EP ∩ SD

Trong (SBC) , gọi  R = FP ∩ SB

Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR

Bài 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K  lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song  với BD . Tìm thiết diện của  tứ diện với  mp (HKM ). Xét  2 trường hợp :

  1. M ở giữa C và D
  2. M ở ngoài đoạn CD 

Bài giải

thiet dien 2

M ở giữa C và D :

        Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD)

        Trong (BCD), gọi  L = KM ∩ BD

        Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL

        Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN

M ở ngoài đoạn CD:

        Trong (BCD), gọi  L = KM ∩ BD

        Vậy : thiết diện là tam giác HKL

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)

Bài giải

thiet dien 3

Trong (SCD), gọi  Q = EN ∩ SC

 Trong (SAD), gọi  P = EM ∩ SA

 Trong (ABCD), gọi  F = MN ∩ BC

 Trong (SBC), gọi  R = FQ ∩ SB

 Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không   song song  .

  1. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)                                        
  2. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

Bài giải

thiet dien 4

Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) :

        Trong (ABCD) , gọi  I = AD ∩ BC

        Vậy : SI = (SAD) ∩ ( SBC)

Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

        Trong (SBC) , gọi  J = MN ∩ SI

        Trong (SAD) , gọi  K = SD ∩ AJ

        Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M  trong tam giác SCD lấy một điểm N.

  1. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
  2. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
  3. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

Bài giải

thiet dien 5

Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):

  • Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN
  • Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (SMN)

                Ta có :  S  là điểm chung của (SAC ) và (SMN)

                Trong (SBC), gọi  M’ = SM ∩ BC

                Trong (SCD), gọi  N’ = SN ∩ CD

                Trong (ABCD), gọi  I = M’N’ ∩ AC

                                    I ∈ M’N’   mà  M’N’ ⊂ (SMN)  → I ∈ ( SMN)

                                    I ∈ AC       mà  AC ⊂  (SAC) →  I ∈ (SAC)

                  → I  là điểm chung của (SMN ) và (SAC)

           →  ( SMN) ∩ (SAC) = SI

  • Trong (SMN), gọi  O = MN ∩ SI                                                                                                  

                                    O ∈ MN

                                    O ∈ SI   mà SI ⊂ ( SAC) →  O ∈ ( SAC)

        Vậy : O  = MN ∩ ( SAC )

Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :

  • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC
  • Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (AMN)

                Ta có :    ( SAC) ∩ (AMN) = AO

  • Trong (SAC), gọi  E = AO ∩ SC                                                                                                   

                                    E ∈ SC

                                    E ∈ AO   mà AO ⊂ ( AMN) →  E ∈ ( AMN)

        Vậy : E  = SC ∩ ( AMN )

Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:

        Trong (SBC), gọi  P = EM ∩ SB

        Trong (SCD), gọi  Q = EN ∩ SD

        Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm  lấy trên  các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi  mặt phẳng (A’B’C’)

Bài giải

thiet dien 6

Trong (ABCD), gọi  O = AC ∩ BD

        Trong (SAC), gọi  O’ = A’C’ ∩ SO

        Trong (SBD), gọi  D’ = B’O’ ∩ SD

        Có hai trường hợp :

  • Nếu D’  thuộc cạnh  SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
  • Nếu  D’  thuộc không cạnh  SD thì

                            Gọi  E = CD ∩ C’D’

                                            F = AD ∩ A’D’

                                             → thiết diện là tứ giác A’B’C’EF

Bài tập áp dụng

Để lại một bình luận

Hãy trở thành người đầu tiên bình luận!

avatar
wpDiscuz
Bài liên quan
Bài tập tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng
Bài tập tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng
Bài tập tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳngBài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cùa AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.a. Tìm giao ...
Chuyên mụcĐại cương về đường thẳng và mặt phẳng
no img nhan thanh
Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
Phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quyĐể chứng minh 3 đường thẳng đồng quy chúng ta có 2 phương phápPhương pháp 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà ...
Chuyên mụcĐại cương về đường thẳng và mặt phẳng
no img nhan thanh
Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
Một số qui  tắc vẽ và biểu diễn của hình khônng gianHình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, ...
Chuyên mụcĐại cương về đường thẳng và mặt phẳng
no img nhan thanh
Các tính chất thừa nhận trong hình học không gian
Bài 1: Các tính chất thừa nhận trong hình học không gianT/C 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệtT/C 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng ...
Chuyên mụcĐại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Xác định thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng
Xác định thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng
Xác định thiết diện của hình chóp với một mặt phẳngĐây là bài toán khó và phức tạp, dài. Cho nên phần này thầy sẽ trình bày chi tiết. Các bạn muốn xác định thiết diện phải làm theo các ...
Chuyên mụcĐại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Sách và tư liệu
PHÒNG KIỂM DUYỆT Ở ĐÔNG DƯƠNG
No img
PHÒNG KIỂM DUYỆT Ở ĐÔNG DƯƠNGBáo L'Humanité, sô" ra ngày 13 tháng 9 có cho biết ồ Mađagátxca vẫn còn ...
CHƯƠNG 5: SÓNG ÁNH SÁNG TUYỂN TẬP CÂU HỎI LÝ THUYẾT  
No img
  CHƯƠNG 5: SÓNG ÁNH SÁNG TUYỂN TẬP CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1: Phát biểu nào ...
Hạt nhân lượng tử_Tuyển tập đề thi ĐH – CĐ các năm_ Đáp án
Hạt nhân lượng tử_Tuyển tập đề thi ĐH – CĐ các năm_ Đáp án
Tổng hợp các câu hỏi và đáp án chương Hạt nhân nguyên tử trong đề thi Đại học – Cao đẳng ...
THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG – VẬT LÍ – ĐỀ 23
THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG – VẬT LÍ – ĐỀ 23
ĐỀ THI THỬPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌAĐỀ 23KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2022Bài thi: KHOA HỌC TỰ ...