Mặt cầu – Bài 5 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 5. Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

a) Chứng minh rằng MA>MB = MC>MD.

b) GỌi MO = d. Tính MA>MB theo r và d.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm I, là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Xét hai tam giác MAD và MCB có góc  chung nên hai tam giác đó đồng dạng.

Vì vậy:  => MA.MB = MC.MD.

b) Đặt MO = d, ta có Oi vuông góc với (P) và ta có:

MO2= MI2 = OI2 và OA2 = OI2 + IA2

Hạ IH vuông góc AB, ta có H là trung điểm của AB.

Ta có MA = MH – HA; MB = MH + HB = MH + HA.

Nên MA.MB = 

MH2 – HA2 = (MH2 + HI2) – (HA2 + IH2)

                = MI2 – IA2 = ( MI2 + OI2) – (IA2 + OI2)

                = MO2 – OẢ2

                = d2 – r2

Vậy MA.MB = d2 – r2