B5. Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN

BÀI 5. ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN

I. TÓM TĂT LÝ THUYẾT

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau

a. y = (x + 3)(5 – x)          (-3 £ x £ 5)

b. y = (x + 1)(2 – x)          (-1 £ x £ 2)

c. y = (2x – 3)(6 – 2x)          (3/2 £ x £ 3)

Bài 2. Tìm GTNN của các hàm số sau

a. y = 2x + 1/2x                   ( x > 0)

b. y = x + 3 + 1/(x + 3)         (x > -3)

c. y = 2x  +36/(2x – 4)          ( x > 2)

Bài 3. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 4.  Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 5.

a. Tìm GTLN của biểu thức

b. Tìm GTNN của hàm số:  với 0 < x < 1.

c. Tìm GTLN của biểu thức:  với a ≥ 1, b ≥ 2, c ≥ 3

d. Tìm GTLN của biểu thức 

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:

 a. y = (x + 3)(5 – x);  -3 £ x £ 5.                        b. y = x(6 – x); 0£ x £ 6

HD:  a. Maxy = 16 khi x = 1                                 b. Maxy = 9 khi x = 3

Bài 2. Cho a, b, x, y Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a. Cho a, b ³ 0 thoả a + b = 1. Tìm GTNN của : .

b. Tìm GTNN của biểu thức .

HD:   Bình phương 2 vế ta được: (1) Û    (*)

 Nếu ab + xy < 0  thì (*) hiển nhiên đúng.

 Nếu ab + xy ³ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) Û (bx – ay)2 ³ 0 (đúng).

Bài 3.  

a. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh:

b. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = Ö3. Tìm GTNN của biểu thức:

HD: a. Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

b. Tương tự câu a). Ta có