Hai mặt phẳng vuông góc hướng dẫn giải chi tiết

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Tóm tắt lý thuyết, bài giải chi tiết dễ đọc, dễ hiểu từ cơ bản đến nâng cao. Hướng dẫn giải bài toán trong sách giao khoa, sách bài tập. Bài tập trắc nghiệm từ các đề thi thử THPT Quốc Gia, đề thi học kì các trường trên toàn quốc.

Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông. Khi đó ta kí hiệu (P) _┴ (Q) hoặc (Q) _┴ (P).

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:  là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Cho hai mặt thẳng (Q) và (P) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (P) ta dựng một đường thẳng vuông góc với  mặt phẳng (Q) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (P).

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SBC), (AHK) ⊥ (SBC)

Hướng dẫn giải chi tiết

Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SBC), (AHK) ⊥ (SBC)

Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Chúng ta chứng minh trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

• Tam giác ABC vuông tại B → AB ⊥ BC (1)
•  SA ⊥  (ABC)                             → SA ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) → BC ⊥ (SAB), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SAB) ⊥ (SBC) đpcm

Chứng minh (AHK) ⊥ (SBC)

Đã có BC ⊥ (SAB) → BC ⊥ AH (3)

 theo giả thiết H là hình chiếu vuông góc của A: SB ⊥ AH(4)

 Từ (3) và (4)→ AH ⊥ (SBC), AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC) đpcm                                    

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK ⊥ AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.

1. Chứng minh (ACD) ⊥ (ABE) và (ACD) ⊥ (DFK).
2. Chứng minh OH ⊥ (ACD).

Hướng dẫn giải chi tiết

Chứng minh: (ACD) ⊥ (ABE)

O là trực tâm của tam giác BCD

•  BE là đường cao tam giác BCD → BE ⊥ DC (1)
•  SA ⊥  (ABC)                                       → SA ⊥ DC (2)

Từ (1) và (2) → DC ⊥ (ABE), DC ⊂ (ADC) ⇒ (ACD) ⊥ (ABE) đpcm

Chứng minh:  (ACD) ⊥ (DFK)

Ta có DK ⊥ AC (3)

DF ⊥ ( AB, BC) → DF ⊥(ABC) → DF ⊥ AC (4)

Từ (1) và (2) → AC ⊥ (DFK), AC ⊂ (ADC) ⇒ (ACD) ⊥ (DFK) đpcm

Chứng minh OH ⊥ (ACD).

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với 

(ACD) ⊥ (ABE), (ACD) ⊥ (DFK), (ABE)∩(DFK) = OH→ OH ⊥ (ACD)

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SBC), (SAD) ⊥ (SCD), (SAC) ⊥ (SBD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng  (SAC) ⊥ (SBD), (SAD) ⊥ (SCD), (SCD) ⊥ (ABM).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC, Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC),  (ABI) ⊥ (SBC).

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (DBC). Gọi AE, BF là các đường cao của tam giác ABC; H, K là trực tâm của các tam giác ABC và DBC. Chứng minh (ADE) ⊥ (ABC) và (BFK) ⊥ (ABC), HK ⊥ (ABC).

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy.

1. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
2. Chứng minh BC ⊥ (SOA).
3. Chứng minh OK ⊥ BC  (SBC) ⊥ (SOK).
4. Kẻ OH ⊥ SK.  Chứng minh OH ⊥ (SBC).

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J là trung điểm của BC, AB và AC. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại O ta lấy điểm S. Chứng minh rằng

1. (SBC) ⊥ (ABC).
2. (SOI) ⊥ (SAB).
3. (SOI) ⊥ (SOJ).