Cấu tạo và các kiểu chứng minh

Cấu tạo và các kiểu chứng minh

( Logic học đại cương – Nguyễn Tuấn Anh)

Cấu tạo của chứng minh

Mọi chứng minh bất kỳ đều có cấu tạo như nhau với ba bộ phân chính:

• Luận đề. Là luân điểm đã được định hình, phát biểu rõ ràng bằng ngôn từ, nhưng tính chân thực của nó còn cần phải được xác minh. Trong nhiều khoa học luân đề thường là giả thuyết có ý nghĩa lý luân và thực tiễn.

Một luân đề đã được chứng minh có thể được tái sử dụng như là luân cứ.

• Luận cứ. Là những luân điểm mà từ đó rút ra tính chân thực hay giả dối của luân đề. Luân cứ lại bao gổm: dữ kiên, định nghĩa, tiên đề và định đề, các định luât đã được chứng minh từ trước.

Trong thực tế, một luân đề có thể được chứng minh nhờ các luân cứ khác nhau, còn một luân cứ có thể sử dụng để chứng minh những luân đề khác nhau.

• Luận chứng. Quá trình sắp xếp, tổ chức các luân cứ theo mạch logic xác định gọi là luận chứng. Xương sống logic của luân chứng là quan hê kéo theo. Nếu luân đề được rút ra một cách logic từ các luân cứ, thì điều đó có nghĩa là, có cơ sở đầy đủ cho nó; và ngược lại, nếu các luân cứ là cần và đủ, thì tất yếu logic rút ra luân đề từ chúng.

Nếu như các phán đoán thực hiên chức năng của luân đề và luân cứ, thì chức năng luân chứng do các suy luân thực hiên. Như vây, chứng minh là hê thống các suy luân được sắp xếp theo cách xác định, mà kết luân cuối cùng của chuỗi suy luân ấy chinh là luân đề.

Các kiểu chứng minh

Phụ thuộc vào mục đich, cách chứng minh và kiểu suy luân dùng trong luân chứng có thể chia chứng minh ra thành ba nhóm chung nhất.

• Chứng minh và bác bẻ

Chứng minh có các mục đich khác nhau — luân chứng cho tinh chân thực của luân đề hoặc tinh giả dối của nó. Phụ thuộc vào mục đich ấy mà có hai kiểu chứng minh: chứng minh theo nghĩa riêng của từ này và bác bẻ.

1. Chứng minh theo nghĩa riêng của từ là luân chứng cho tinh chân thực của luân đề.
2. Bác bẻ. Là luân chứng cho tinh giả dối hoặc không chứng minh được của luân đề nhờ các luân cứ chân thực.

Bác bẻ có các dạng khác nhau. Đó có thể là bác bỏ luân đề, là phê phán luân cứ, là chỉ ra sự thiếu mối liên hê giữa các luân cứ và luân đề. Nhiều khi bác bỏ mang tinh toàn diên: đụng đến tất cả các bộ phân của phép chứng minh.

• Chứng minh trực tiếp và gián tiếp là các kiểu chứng minh có được do phân chia dựa vào cách luân chứng.

a) Chứng minh trực tiếp là chứng minh, trong đó người ta tổ chức các luân cứ để trực tiếp dẫn đến tinh chân thực hay giả dối của luân đề. Trong các chứng minh trực tiếp nhiêm vụ đặt ra là: 1) tìm kiếm những luân cứ được thừa nhân là có tính thuyết phục cao; và 2) thiết lâp mối liên hê logic giữa các luân cứ tìm được với luân đề.

b) Chứng minh gián tiếp là chứng minh, trong đó các luân cứ được tổ chức để luân chứng cho tính chân thực của luân đề bằng cách luân chứng cho tính giả dối của phản đề. Theo luât bài trung, nếu một trong số hai luân điểm mâu thuẫn nhau là giả dối, thì luân điểm kia là chân thực. Phản đề giả dối có nghĩa là, luân đề chân thực. Như vây, chứng minh gián tiếp trải qua các giai đoạn sau:

1) nêu phản đề và từ đó rút ra các hê quả để mong tìm trong số chúng ít nhất là một giả dối;

2) chỉ ra, đúng là trong số các hê quả có hê quả giả dối;

3) kết luân rằng, phản đề không đúng; 4) từ sự giả dối của phản đề rút ra kết luân: luân đề chân thực — là điều cần chứng minh.

Một cách ngắn gọn các bước trên được mô tả bằng công thức của luât chứng minh gián tiếp như sau: (7A → B) Λ (7A → 7B) → A

Chứng minh gián tiếp có một số dạng như phản chứng hoặc phân liêt.

Chứng minh phản chứng là cách chứng minh, mà bước đầu tìm cách chứng minh tính giả dối của phản đề mâu thuẫn với luân đề cần chứng minh; sau đó dẫn phản đề giả sử ấy đến mâu thuẫn với chân lý đã được xác lâp, và cuối cùng từ tính giả dối của phản đề rút ra kết luân về tính chân thực của luân đề phải chứng minh.

Nói riêng, trong chứng minh phản chứng có một cách gọi là dẫn đến phi lý. Nếu như từ mênh đề A rút ra được cả B, lẫn phủ định của B (7B), thì khi đó phủ định của A sẽ là chân thực: (A → B) Λ (A → 7B) → 7A.

Bác bẻ cũng có thể được tiến hành dưới hình thức chứng minh gián tiếp bằng phản chứng. Hình thức bác bẻ phổ biến nhất là rút từ luân đề cần bác bẻ ra những hê quả mâu thuẫn với chân lý. Dựa vào tính chất của tư duy đúng đắn là không được chứa mâu thuẫn lôgíc, cho nên, nếu như chỉ cần một hê quả lôgíc của luân đề là giả dối, thì chính luân đề ấy cũng giả dối.

Ngược lại, để xác lập tính giả dối của luân đề, thì có thể đi chứng minh tính chân thực của phản đề.

Trong tất cả các chứng minh gián tiếp nêu trên chỉ có hai tình thế: luận đề và phản đề. Nhưng nếu số các khả năng không hạn chế ở hai: luận điểm cần phải chứng minh và phủ định của nó, mà nhiều hơn, thì chúng ta phải tìm cách chứng minh khác như giới thiêu dưới đây.

Chứng minh phân liệt. Trong cách chứng minh này tính chân thực của luận đề được xác định bằng con đường loại trừ tất cả các giải pháp đối lập với nó. Ví dụ, đề chứng minh hai vật bằng nhau, ta chứng minh rằng vật cần phải chứng minh không lớn hơn, mà cũng không nhỏ hơn vật so sánh với nó, vậy nó chỉ có thể bằng với vật kia. Quan trọng ở đây là phải tính hết các phương án, khả năng có thể xẩy ra, tức là để phép tuyển phải đầy đủ, “khép kín”.

• Căn cứ vào nhóm suy luận dùng trong luận chứng mà người ta còn chia ra thành các kiểu chứng minh như chứng minh diễn dịch, chứng minh quy nạp, chứng minh loại suy, và chứng minh hỗn hợp.

Cuối cùng là sơ đổ của chứng minh:

A₁, A₂, . . . A_n → T, trong đó T — luận đề; A — luận cứ; “^” là chỉ quan hê kéo theo giữa các luận cứ và luận đề.