B2. Bất đẳng thức Côsi

BÀI 2. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Một số bất đẳng thức thông dụng

2. Bất đẳng thức Cô–si:           

VẤN ĐỀ: Chứng minh BĐT bằng cách sử dụng BĐT Cô–si

Bài 1. Cho a, b, c ³ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 2. Cho a, b, c ³ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 4. Cho a, b > 0. Chứng minh . Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

  c. Cho a, b, c > 0 thoả 

Bài 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh . Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

.

  b. Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức: 

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho a, b, c ³ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 9(a3 + b3 + c3) ³ (a + b + c)3

HD:   Áp dụng bài 3b) ta có: 9(a3 + b3 + c3) ³ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2)

 Từ đó ta được: 3(a2 + b2 + c2) ³ (a + b + c)2  Þ đpcm.

Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh  (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

b. Cho x, y, z > 0 thoả x + 2y + 4z = 12. Chứng minh: 

c. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

HD  a. Theo (1): 

Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.

b. Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12  Þ đpcm.

c. Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.

 Áp dụng (1) ta được: 

 Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.