Phương trình lượng giác : sinx = m

Phương trình lượng giác : sinx  = m

Điều kiện có nghiệm -1 ≤ m ≤ 1

m là giá trị sin của góc lượng giác đặc biệt 

• m = sinα  ( α – góc lượng giác đo bằng radian)
• m = sin β⁰ ( β⁰ – góc lượng giác đo bằng độ )

m không phải là giá trị sin của góc đặc biệt

sinx = m → x = arc sin(m) + k2π  và x = π – arcsin(m) + k2π

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau

1. sinx = 1/2
2. sinx = 1/5
3. sin(x + 45⁰) = – √2 / 2

Bài giải

sin x = 1/2

Hướng dẫn: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hoặc dùng máy tính casio: shift  sin 1/2 

sinx = 1/2 = sin(π/6). Theo công thức nghiệm

x = π/6 + k2π   và x = π – π/6 + k2π 

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = π/6 + k2π , x = 5π/6 + k2π  với k ∈ Z

sinx = 1/5

Hướng dẫn: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hoặc dùng máy tính casio: shift  sin 1/5 ta thấy 1/5 không phải là giá trị của góc đặc biệt, khi đó chúng ta sử giá trị của hàm số lượng giác ngược arc ( ác sin)

sinx = 1/5 → x = arc sin(1/5) + k2π  và x = π – arcsin(1/5) + k2π

sin(x + 45⁰) = – √2 / 2

Hướng dẫn: Trong phương trình lượng giác chúng ta thấy có góc 45⁰  Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hoặc dùng máy tính casio: shift  sin (– √2 / 2) là -45⁰

sin(x + 45⁰) = – √2 / 2 = sin (-45⁰)

• x + 45⁰ = – 45⁰ + k2π ↔ x = – 90⁰ + k360⁰
• x + 45⁰ = 180⁰ + 45⁰ + 360⁰ k → x = 180⁰ + 360⁰k               ( k∈Z )

Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác ( sử dụng công thức liên quan góc phụ nhau, góc đối, góc bù)

1. sin ( 3x + π/3 ) = sin ( 4x + π/4 )
2. sin 2x + sin5x = 0
3. sin3x – cos2x = 0

Bài giải

sin ( 3x + π/3 ) = sin ( 4x + π/4 )

• 3x + π/3  = 4x + π/4  + k2π            ↔ x = π/12 + k2π
• 3x + π/3  = π – (4x + π/4 ) + k2π   ↔ 7x = 5π/12 + k2π

sin 2x + sin5x = 0 ↔ sin2x = – sin5x ↔ sin2x = sin(-5x)

• 2x = – 5x + k2π         ↔ x = k2π/7
• 2x = π + 5x + k2π    ↔ x = -π/3 + k2π/3

sin3x – cos2x = 0  ↔ sin3x = cos2x ↔ sin3x = sin( π/2 – 2x)

• 3x = π/2 – 2x + k2π             ↔ x = π/10 + kπ/5
• 3x =π – ( π/2 – 2x) + k2π    ↔ x = π/2 + kπ

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: 

Bài tập 2: