Bài tập 4 – Trang 101- SGK Toán Giải tích 12

4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) ∫xln(1+x)dx           ;                   b) ∫(x2+2x+1)exdx

c) ∫xsin(2x+1)dx       ;                    d)(1-x)cosxdx

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt u= ln(1+x)

     dv= xdx    

   =>  ,  

Ta có: ∫xln(1+x)dx = 

                             =

b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:

Đặt u= (x2+2x -1) và dv=exdx

Suy ra du = (2x+2)dx, v = ex

. Khi đó:

∫(x2+2x – 1)exdx  = (x2+2x – 1)exdx – ∫(2x+2)exdx

Đặt : u=2x+2; dv=exdx

 => du = 2dx ;v=ex

Khi đó:∫(2x+2)exdx = (2x+2)ex – 2∫exdx =  ex(2x+2) – 2ex+C

Vậy 

∫(x2+2x+1)exdx =  ex(x2-1) + C

Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x2-1)exdx. Đặt u = x2-1 và dv=exdx.

Đáp số : ex(x2-1) + C

c) Đáp số: 

HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx

d) Đáp số : (1-x)sinx – cosx +C.

HD: Đặt u = 1 – x  ;dv = cosxdx