B7. Phương trình đường tròn

BÀI 7. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trình đường tròn

Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R có phương trình là:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2    (1)

hay:      x2 + y2– 2ax – 2by + c = 0          (2)

với c = a2 + b2– R2

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính  .                    

Ghi chú:

1.  Trong phương trình (2):

Hệ sốc = a2 + b2– R2Û R2 = a2 + b2– c ³ 0, đây là điều kiện giữa các hệ số a, b, c để (2) là phương trình của một đường tròn tâm I(a, b) bán kính R.

2. Phương trình đường tròn có những đặc điểm:

– Là phương trình bậc hai đối với x và y.

– Các hệ số của x2 và y2 bằng nhau.

– Không chứa thừa số xy.

Thí dụ: Phương trình của đường tròn (C) tâm I(3, –2) bán kính R = 5 là:

 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 52Û  x2 + y2– 6x + 4y – 12 = 0 Những trường hợp đặc biệt:

Trường hợp 1. Đường tròn có tâm là gốc tọa độ:

Trong trường hợp này ta có: a = b = 0. Phương trình (1) trở thành:   x2 + y2 = R2

Trường hợp 2. Đường tròn đi qua gốc tọa độ:

Trong trường hợp này ta có:  R2 = a2 + b2

Þ  c  = a2 + b2– R2 = 0

Phương trình (2) có thể viết:  x2 + y2– 2ax – 2by = 0

Đây là đường tròn đi qua gốc tọa độ bán kính:  

Trường hợp 3. Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ:

– Tiếp xúc với trục hoành:

Khi đường tròn (C) tâm I(a, b) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(a, 0), ta có bán kính R =

Phương trình (1) có dạng:

(x – a)2 + (y – b)2– b2 = 0

Û  x2 + y2– 2ax – 2by + a2  = 0

Û  (x – a)2 + y2– 2by = 0

– Tiếp xúc với trục tung:

Tương tự, khi đường tròn (C) tiếp xúc với trục Oy tại B(b, 0), ta có phương trình:

x2 + y2– 2by + b2 = 0

Û x2 + (y – b)2– 2ax = 0

Trường hợp 4.  Đường tròn xác định bởi một đường kính:

– Tâm I là trung điểm của AB.

– Bán kính .