Mặt nón tròn xoay – hình nón – khối nón

MẶT NÓN TRÒN XOAY – MẶT NÓN – KHỐI NÓN

Định nghĩa Mặt tròn xoay

Trong không gian cho hình H và đường thẳng ∆.Hình gồm tất cả các đường tròn (CM) với M thuộc H được gọi là hình tròn xoay sinh bởi H khi quay quanh ∆.Đường thẳng ∆ được gọi là trục của hình tròn xoay đó.

Khi hình H là một đường thì hình tròn xoay sinh ra bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay.

1. Mặt nón

Xét hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại O và tạo thành góc a với 00<a< 900. Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh ∆ được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.

Đường thẳng ∆ gọi là trục

Đường thẳng d gọi là đường sinh

Góc 2a gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

2. Hình nón

Phần của mặt nón giới hạn bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục tới đỉnh O được gọi là hình nón

Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón

Đường tròn (C) được gọi là đường tròn đáy

Hình tròn (C) được gọi là đáy của hình nón

3. Khối nón

Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Bài 1. Hãy tìm:

a. Giao của một hình nón và một mặt phẳng đi qua trục của nó

b. Giao của một hình nón và mặt phẳng vuông góc với trục của nó.

Bài 2.Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luôn luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi a = AB/2. Chứng minh rằng d luôn luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay.

Bài 3: Trong mặt phẳng α cho một góc ∠xOy = 2φ. Một mặt phẳng β thay đổi luôn vuông góc với đường phân giác của góc xOy cắt Ox, Oy tại A và B. Trong mặt phẳng β lấy điểm M nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Chứng minh rằng các điểm M luôn nằm trên một mặt nón xác định.

Bài 4: Một hình nón có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một tam giác đều. Gọi A là một điểm cố định trên đường tròn đáy (O), M là một điểm di động trên (O).Đặt . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (SAM). Tính OH theo R và a

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng l thay đổi luôn luôn đi qua O và hợp với (P) một góc không đổi. Chứng minh rằng l luôn luôn nằm trên một mặt nón.

Bài 2: Cho mặt cầu S(O; R) và A nằm ngoài mặt cầu. Chứng minh rằng các đường d qua A và tiếp xúc với S(O; R) nằm trên một mặt nón.

Bài 3. Chứng minh rằng trong một mạt nón, góc ở đỉnh lớn hơn hay bằng bất cứ góc nào do hai đường sinh tạo nên.

Bài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân SAB có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng.

Bài 2: Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều nội tiếp trong hình nón là V.

Bài 3: Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng S quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh là S. Hình nón nội tiếp hình chóp có góc giữa đường sinh và trục bằng 300. Tính thể tích của khối nón tròn xoay.

Bài 5: Cho khối nón ngoại tiếp tiếp tứ diện đều ABCD. Đỉnh của nón trùng với đỉnh A của tứ diện, đáy của tứ diện là đáy của hình nón. Tính tỉ số thể tích của tứ diện và nón

III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối nón

a. có thiết diện đi qua trục của khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a

b. đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và 

Bài 2. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; R) và (O’; R); OO’ = RÖ2. Xét hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O; R).

a .Tính tỉ số thể tích xung quanh của hình trụ và hình nón.

b. Mặt xung quanh cuả hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Bài 3. Cho một hình cầu bán kính r = 1, nội tiếp một hình nón có chiều cao h và đáy bán kính đáy R

a. Tìm hệ thức liên hệ giữa h và R.

b. Xác định h và R để thể tích hình nón có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4. Cho một khối nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy bằng R; M là một điểm trên đoạn OS, đặt OM = x, 0 < x < h.

a. Tính thể tích của thiết diện (C) khi cát khối nón bởi mặt phẳng đi qua M và vuông góc với OS.

b. Tính thể tích V của khối nón đỉnh O mà đáy là (C ) theo R và x. Xác định x sao cho V có giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh:

a. Đường thẳng AD.

b. Đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE