Diện tích thiết diện của hình lập phương nhỏ nhất khi cắt hình lập phương theo 1 đường chéo

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D cạnh bằng a. Cắt hình lập phương theo một mặt phẳng chứa 1 đường chéo của hình lập phương. Diện tích thiết diện của hình lập phương nhỏ nhất bằng bao nhiêu. 

Chọn bất kì 1 đường chéo. A'C hoặc BD'...

Cách 1: Hướng dẫn cách giải theo hình học không gian thông thường

Các trường hợp có thể xảy ra khi cắt hình hộp bởi mặt phẳng chứa B'D

Trường hợp 1: 

Thiết diện chứa B'D và chứa A' hoặc C' hoặc D' là các hình chữ nhật có diện tích là a²√2

Trường hợp 2:

Gọi O là tâm đối xứng của hình hộp. Giả sử mặt phẳng chứa BD’ cắt cạnh AA’ tại M. OM cắt cạnh CC’ tại N, M, N đối xứng với nhau qua tâm O

Thiết diện của hình hộp và mặt phẳng chứa đường chéo BD’ là hình bình hành MBND’.

S_BMD'N = 2.S_MBD' = MK. BD' . BD' có giá trị không đổi 

BD'² = DB² + DD'². → BD' = a√3

diện tích thiết diện của hình lập phương nhỏ nhất khi MK là đoạn vuông góc chung của BB' và D'B. 

MK là đoạn vuông góc chung khi M là trung điểm của BB'. O trùng với K. MO bằng một nửa MN, MN = BD = a√2

 Cách 2: Sử dụng tọa độ Oxyz để tọa độ hóa hình lập phương.