Ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

https://hoctap24h.vn

Phương pháp sử dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = (1).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = (2).

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x² – 1; y = 0; x = 0; x = 2.

Giải:

Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = thì S =
Phương trình: x² -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2]
Vậy S = + = + = 2 (đvdt)

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x² và y = x.

Giải:

· Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x² = x x² + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2

Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = thì

S =

Vậy S = = = = (đvdt)

* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b].

Bài tập trắc nghiệm

(1)

Cho hàm số liên tục trên ℝ ; . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , Phát biểu nào sau đây là đúng?
(2)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục các đường thẳng
(3)

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và
(4)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị và .
(5)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
(6)

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục được tính bằng công thức nào sau đây?
(7)

Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(8)

:

Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ bên. Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ tương ứng với chiều dài mét.

(m²).

Thiem.99

(m²).

(m²).

(9)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng bằng . Giá trị của là

1

16
(10)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là

1

0
(11)

Hình phẳng giới hạn bởi các đường: và có diện tích là

2

3

1
(12)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:
(13)

Cho hàm số có đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
(14)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và được tính bởi công thức:
(15)

Gọi S là diện tích của Ban Công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P) và trục Ox)
(16)

Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?

40kg

30kg

50kg

45kg
(17)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và
(18)

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong là
(19)

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường
(20)

Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình và đường thẳng là . Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng
(21)

Cho hàm số liên tục trên R và hàm số có đồ thị trên đoạn như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được tô màu là tính tích phân
(22)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng bằng Tìm k.
(23)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và các đường thẳng được xác định bởi công thức.
(24)

Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 16m và chiều rộng là 8m. Các nhà Toán học dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua 2 mút của cạnh dài đối diện; phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai parabol (phần gạch sọc như hình vẽ minh họa) được trồng hoa Hồng. Biết chi phí để trồng hoa Hồng là 45.000đồng/. Hỏi các nhà Toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

2.715.000 đồng

3.476.000 đồng

3.322.000 đồng

2.159.000 đồng
(25)

Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn và hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
(26)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và hai đường thẳng x = 0 , x = 3
(27)

Tính diện tích hình phẳng được đánh dấu trên hình bên
(28)

Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành. Hai đường thẳng chia hình thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính .