Đồng biến và nghịch biến với nghiệm của phương trình và bất phương trình

Nếu hàm y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b).

Nếu hàm y =  f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì  "u, v thuộc (a, b) ta có f(u) =  f(v) < -- > u = v.

Nếu hàm y =  f(x)  đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) thì "u, v thuộc (a, b) ta có f(u) <  f(v) < -- > u <  v.

(f(u) > f(v) < -- > u > v) .

Nếu hàm y = f(x) đồng biến và y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến trong khoảng (a;b) thì phương trình g(x) = f(x)  có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Bolzano – Cauchy : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn  và f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm x₀ để  f(x₀) = 0