Sử dụng Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong phương trình và bất phương trình

Xuất phát từ bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= g(m) thì số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) với đường thẳng y = g(m). Ta giải các bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số theo các định hướng sau:

Biến đổi các phương trình, bất phương trình chứa tham số m về dạng f(x)= g(m): với hàm số y = f (x) có giá trị lớn nhất -  giá trị nhỏ nhất  trên tập xác định . Khi đó:

1. Phương trình f(x)= g(m) có nghiệm trên D khi và chỉ khi

 

2. Phương trình f(x)= g(m) vô nghiệm trên D khi và chỉ khi

 3. Cho bất phương trình f(x) > g(m) . Điều kiện bpt có nghiệm với mọi x thuộc tập xác định là 

4. Cho bất phương trình f(x) > g(m) . Điều kiện bpt có nghiệm  là 

5. Cho bất phương trình f(x) > g(m) . Điều kiện bpt vô nghiệm là 

6 . Cho bất phương trình f(x) <  g(m) . Điều kiện bpt có nghiệm với mọi x thuộc tập xác định là 

7. Cho bất phương trình f(x) <  g(m) . Điều kiện bpt có nghiệm  là 

8. Cho bất phương trình f(x) <  g(m) . Điều kiện bpt vô nghiệm là 

9. Cho 2 hàm số y = f(x),  y = g(x) là luôn đồng biến hoặc nghịch biến có tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên tập xác định . Xét phương trình hoành độ giao điểm  f(x)= g(x) .

Điều kiện để phương trình vô nghiệm là : 

Điều kiện để phương trình có nghiệm là : Phần bù của trường hợp vô nghiệm

Ứng dụng GTLL, GTNN của hàm số vào phương trình và bất phương trình