Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu 1, 2, 3, ..., n, ... trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.

a) Gọi u_n là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính u₁ , u₂ , u₃ và u_n .

b) Tính lim S_n với S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n .

Bài giải

a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng  nên u₁ = ()² = .

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng  nên  u₂ = ()² = .

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng  nên  u₃ = ()^{2 = .}

Tương tự, ta có dãy số u_n  =

b) Dãy số (u_n) là một cặp số nhân lùi vô hạn với  u₁ =  và  cộng bội q = . Do đó

lim S_n = .

Giới hạn dãy số - Bài 4 trang 121 sách giáo khoa lớp 11 cơ bản