Cho dãy số U_n , biết: u₁ = -1; u_n+1 = u_n +3 với n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n -4.

Bài giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là -1, 2, 5, 8, 11.

-  u₁ = -1.

 - u₂ = u₁ +3 = -1 + 3 = 2

- u₃ = u₂ +3  = 2 + 3 = 5

- u₄ = u₃ +3 = 5 + 3 = 8

- u₅ = u₄ +3 = 8 + 3 = 11

Kết luận: 5 số hạng đầu của dãy số là : -1, 2, 5, 8, 11.

b) Chứng minh u_n  = 3n - 4 bằng phương pháp quy nạp:

Với n =1 thì u₁ = 3.1 - 4 = -1, đúng.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là u_k = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.

Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:

u_k+1 =  u_k + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4.

Vậy hệ thức đúng với mọi n ε  N^*  , tức là công thức đã được chứng minh.