5. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt  

và OM = R, .

Gọi  là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).

a) Tính thể tích của  theo α và R.      

b) Tìm α sao cho thể tích  là lớn nhất.    

Hướng dẫn giải :

a) Hoành độ điểm P là : 

xp =  OP = OM. cos α = R.cosα

Phương trình đường thẳng OM là y =  tanα.x. Thể tích V của khối tròn xoay là:

b) Đặt t = cosα  =>  t ∈ . (vì α ∈ ),  α = arccos t.

Ta có :

V' = 0 ⇔

    hoặc  (loại).

 

Ta có bảng biến thiên:

Từ đó suy ra V(t) lớn nhất ⇔  , khi đó : .