Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cả 6 cạnh của tứ diện; tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại C0, A0, B0; tiếp xúc với DA, DB, DC lần lượt tại B1, C1, A1. Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:

Ta chứng minh: AB + CD = AC +BD = AD + BC.

Ta có AB + CD = AC0 + C0B + CA1 + A1D = AB0 + BC1 + CB0 + C1D

                      = AB0 + B0C + BC1 + C1D = AC + BD.

Đẳng thức AC + BD = AD + BC được chứng minh tương tự.

Mặt cầu - Bài 8 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12