Thiết diện song song với đường thẳng cho trước

Thiết diện song song với đường thẳng cho trước

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, biết mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước

1. Tìm 1 điểm chung của hai mặt phẳng
2. Tìm trong mặt phẳng 1 đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc tìm hai đường thẳng trong hai mặt phẳng song song với nhau

Nhắc lại thiết diện: 

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng (a) qua MN, // SA

1. Tìm các giao tuyến của (a) với (SAB) và (SAC).
2. Xác định thiết diện của hình chóp với (a)
3. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang

Bài giải:

Tìm các giao tuyến của (a) với (SAB)

M∈ (a), M∈ (SAB) ⇒ M = (a) ∩(SAB)

có (a) // SA → giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (SAB) đi qua M và song song với SA cắt SB tại P

Tìm các giao tuyến của (a) với (SAC)

1. Tìm 1 điểm chung của hai mặt  phẳng :  MN ∩ AC = R → R ∈ (a), R ∈ (SAC). R – điểm chung
2. Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng: có (a) // SA → giao tuyến đi qua điểm chung R và song song với cạnh SA cắt SC tại Q

Xác định thiết diện của hình chóp với (a): thiết diện là tứ giác MNPQ

Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang: để xét tứ giác MNPQ là hình thang chúng ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Cho trước MP // NQ, có MP // SA → SA // NQ, NQ ⊂ (SCD)  → SA // (SCD). vô lý

Trường hợp 2: Cho trước PQ // MN 

BC = (SBC) ∩ (ABCD), MN // PQ ⇒ BC // MN // PQ

( Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến sẽ song song với hai đường thẳng đó )

Ngược lại: Cho trước MN // BC → MN // PQ

Kết luận: để thiết diện NMPQ là hình thang thì MN // BC

Bài 2: Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M ,  trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ . Gọi (a) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .

1. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (a) với tứ diện ABCD.
2. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .

Bài giải

Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (a) với tứ diện ABCD

b1: Tìm giao tuyến của (a) và các mặt phẳng xung quanh, mặt phẳng đáy của hình chóp

• Tìm giao tuyến của (a) và ( ACD)

           – Tìm 1 điểm chung: M ∈ (a), M ∈ AD → M ∈ (ACD) ⇒ M là điểm chung

           – Tìm đường thẳng song song: có (a) // CD → giao tuyến qua M và // CD cắt AC tại P ⇒ (a) ∩(ACD) = MP

             M là trung điểm của AD → P là trung điểm của AC

•   Tìm giao tuyến của (a) và ( BCD)

          – Tìm 1 điểm chung: 

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J  lần lượt là trung điểm AB và CD . Giả sử AB ⊥ CD , mặt phẳng (a) qua M nằm trên  đoạn IJ  và song song với AB và CD.

1. Tìm giao tuyến của (a) với ( ICD ) và (JAB) .
2. Xác định thiết diện của (ABCD)  với mặt phẳng (a),  Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật .
3.  Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = 1/3IJ

Bài giải

Bài 4: Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD.  Gọi  M là điểm tùy ý trên  AO với AM = x  . mặt phẳng (a) qua M song song với SA  và BD cắt  SO , SB , AB tại N, P , Q .

1. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
2. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và  x . Tính x để  diện tích  lớn nhất

Bài giải

Bài 5: Trong mặt phẳng (a) cho tam giác ABC vuông tại A , Â= 60, AB  = a .Gọi O là trung điểm của BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (a) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là một điểm trên cạnh AB , mặt phẳng (b) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC ,  SA lần lượt tại N , P , Q . Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .

1. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
2. Tính diện tích của hình thang theo a và x . Tính x để diện tích này lớn nhất .

Bài giải

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có  đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và (a) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.

1. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (a) lần lượt với các cạnh SB, SD.
2. Gọi I là giao điểm của ME và CB , J  là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng .

Bài giải

Bài 7: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang . Gọi M là một điểm của CD ; (a)  là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC .

1. Hãy tìm  thiết diện của mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì  ?
2. Tìm giao tuyến của (a) với mặt phẳng (SAD).

Bài giải

Bài tập áp dụng